廣義特徵子空間

當算子虧損時，它尋常的特徵子空間太小，無法填滿整個空間。廣義特徵子空間正是這道修補：你不再止步於被 (A - lambda I) 零化的向量，還收集被某個冪 (A - lambda I)^k 零化的向量。這些額外的向量恰好填上了缺失特徵向量留下的洞。

形式地說，lambda 的廣義特徵子空間是 G_lambda = ker(A - lambda I)^k，其中 k 大到使核不再增長即可（取 k 等於代數重數總是足夠的）。它的維數等於 lambda 的代數重數——而非僅僅幾何重數——所以廣義特徵子空間總是「足夠大」。它把尋常特徵子空間作為 k = 1 那一層包含在內。

決定性的定理：在 C 上，整個空間是各廣義特徵子空間的直和，V = G_lambda_1 (+) ... (+) G_lambda_m。即便 A 虧損、無法對角化，這個分解也總成立。在每個廣義特徵子空間內部挑選一組聰明的基（Jordan 鏈），便得到 Jordan 標準形——任何複矩陣的通用標準形。