代數重數

把特徵多項式分解因式時，每個特徵值都是它的一個根，有時還不止出現一次。特徵值 lambda 的代數重數，就是因子 (x - lambda) 在這個分解中出現的次數。若特徵多項式為 (x - 3)^2 (x - 5)，則 3 的代數重數為 2，5 的代數重數為 1。

嚴格地說：對 n 階矩陣 A，把特徵多項式 p(x) = det(xI - A) 在代數閉域上分解為一次因子的乘積。lambda 的代數重數是使 (x - lambda)^k 整除 p(x) 的最大 k。由於 p 的次數為 n，所有特徵值的代數重數之和恰好等於 n（在 C 上計數，多項式總能完全分解）。

這個數就是「按重數計算」的特徵值個數，它為幾何那一側設定了上限。lambda 的獨立特徵向量個數永遠不能超過它的代數重數。當每個特徵值的兩種重數都相等時，矩陣可對角化；當代數重數超過幾何重數時，矩陣是虧損的，需要用 Jordan 塊來處理。