特徵方程

特徵方程是一舉產生全部特徵值的那一個方程：det(A - lambda I) = 0。它形式化地陳述了：何時一個數 lambda 能讓 A - lambda I 把某個方向壓成零——也就是 A 何時真有對應 lambda 的特徵向量。求解它，是手算特徵值的教科書路徑。

推理很短。A v = lambda v 且 v 非零，意味著 (A - lambda I) v = 0 有非零解，這恰發生在 A - lambda I 奇異之時，而這又恰發生在其行列式為零之時。所以 det(A - lambda I) = 0 正是 lambda 為特徵值的精確條件。展開這個行列式得到一個關於 lambda 的多項式——特徵多項式——其次數等於矩陣的維數 n。

由於方程次數為 n，n 階矩陣有按重數計算的 n 個特徵值（在 C 上）。根可以重複（給出重數），即便對實矩陣也可以是複數。求解特徵方程對小型或有結構的矩陣尚可，但對大型矩陣在數值上不穩定；實用軟件改用迭代方法求特徵值，絕不會真的去對這個多項式求根。