特徵理論與對角化
複數域與實數域上的特徵值
特徵值是特徵多項式的根，而你允許這些根棲身的域，會極大地改變答案。在實數域上，多項式可能根本沒有根（想想 x^2 + 1），於是一個再普通不過的實矩陣也可能沒有實特徵值。在複數域上，每個 n 次多項式都完全分解——這正是 C 作為特徵理論自然家園的原因。
最乾淨的例子是旋轉。矩陣 R = [cos t, -sin t; sin t, cos t] 把平面旋轉角 t，且（當 t 不是 pi 的整數倍時）不固定任何實方向，故它沒有實特徵向量。其特徵多項式 lambda^2 - 2 cos t lambda + 1 有複根 e^{i t} 與 e^{-i t}。純旋轉的幾何完全編碼在這些複特徵值之中。
實矩陣保留了一點美妙的結構：它們的複特徵值成共軛對出現，lambda 與其共軛，對應的特徵向量也共軛。正因如此，一個在 R 上不可對角化的實矩陣，仍能被化為帶 2x2 旋轉-伸縮塊的實塊形（實 Jordan/實標準形），在不離開實數的前提下刻畫每一對複特徵值。
R = [cos t, -sin t; sin t, cos t]: eigenvalues e^{i t}, e^{-i t} (complex unless t is a multiple of pi)
實旋轉沒有實特徵向量，卻有一對落在單位圓上的清晰複特徵值。
代數基本定理使 C 成為自然的域：它保證特徵多項式可完全分解，於是在 C 上每個 n 階矩陣都有按重數計算的 n 個特徵值，且每個這樣的矩陣至少可三角化。
又稱
另見