由特徵值得到跡與行列式

與矩陣相關的兩個最基本的數——它的跡（對角元之和）與行列式——結果完全由特徵值決定。跡等於特徵值之和，行列式等於它們之積，各按代數重數計算。這把一個依賴座標的計算（對角線）與一個不依賴座標的不變量（譜）聯繫了起來。

在 C 上，特徵多項式 p(lambda) = det(lambda I - A) 分解為 (lambda - lambda_1) ... (lambda - lambda_n)，比較係數即可直接得到這兩個恆等式：tr(A) = lambda_1 + ... + lambda_n，det(A) = lambda_1 ... lambda_n。它們是 p 的係數與特徵值之間一般初等對稱關係中的首項與末項。

這是絕佳的檢驗手段。算出特徵值後，驗證它們的和等於跡、積等於行列式；不符就意味著算術出錯。它們還立即解釋了為何矩陣可逆當且僅當沒有零特徵值（det != 0），並且在相似變換下保持不變，因為相似矩陣共享跡與行列式。