可對角化判據

對角化一個矩陣，意味著找到一組座標，使它在其中表現為純粹的伸縮——A = P D P^-1，其中 D 為對角矩陣。並非每個矩陣都能如此。可對角化判據就是那份簡明的檢查表，它在你動手做任何繁重計算之前，告訴你這個夢想能否實現。

有三個等價的判據，任取其一即可定奪。其一：A 可對角化當且僅當每個特徵值的幾何重數等於代數重數。其二（等價）：當且僅當特徵向量張成整個空間，即存在一組特徵向量基。其三：當且僅當 A 的極小多項式分解為互異的一次因子——極小多項式無重根。三者抓住的是同一個事實：有足夠多的獨立特徵向量。

一個好用的充分（但非必要）捷徑：若 n 階矩陣有 n 個互異特徵值，則它自動可對角化，因為互異的特徵值迫使特徵向量獨立。逆命題不成立——[3, 0; 0, 3] 有重特徵值卻本身已是對角的。而譜定理保證：每個實對稱（或複 Hermitian）矩陣都可對角化，事實上還能用一組標準正交特徵向量基對角化。