子空間（subspace）

子空間是塞在一個更大空間裡面的向量空間——一個更小的舞台，而它本身就是供向量居住的、完全合格的地方。三維空間裡的那張 xy 平面是一個子空間；平面裡過原點的一條直線也是一個子空間。關鍵在於，子空間不是隨便哪個子集；它必須像整個空間那樣自給自足。

判斷一個子集是不是子空間，有一個快速的三步檢驗。第一，它必須包含零向量。第二，它對加法封閉：把它裡面任意兩個向量相加，你仍然待在裡面。第三，它對縮放封閉：把它裡面任意一個向量乘以任意數，你仍然待在裡面。三條全過，你就有了一個子空間；任何一條不過，就不是。一個實際的推論是：每個子空間都必須經過原點，所以一條偏離原點的直線或平面就不是子空間。

一個小例子：在 R^3 裡，所有形如 (x, y, 0) 的向量組成的集合——也就是第三個座標為零的全部向量——是一個子空間，正是我們熟悉的那張平坦的 xy 平面。它包含 (0, 0, 0)，兩個這樣的向量之和第三個座標仍是零，縮放一個也保持那個零。但形如 (x, y, 1) 的向量集合不是子空間：它漏掉了原點，而且把兩個相加會得到第三座標為 2，落到了外面。