向量與向量空間
向量空間（vector space）
向量空間是向量居住的遊樂場：一整批向量，你可以把它們相加、用數字縮放，並且保證你永遠不會掉出這批向量之外。把空間裡任意兩個向量相加，結果仍在空間裡；把任意向量乘以任意數，結果也仍在空間裡。這種自給自足的性質叫做對加法與純量乘法「封閉」，它正是這個概念的核心。
除了封閉之外，這些運算還必須像算術該有的那樣守規矩：加法可以任意調換次序；存在一個零向量，加上它什麼都不改變；每個向量都有一個負向量能把它抵消；縮放對加法滿足分配律。這些就是標準的規則（公理），它們不過是把「加法和縮放照常運作」正式寫下來。最熟悉的例子是 R^2（平坦的平面）、R^3（三維空間）和 R^n（n 個數字組成的列表）。
這個概念之所以強大，在於它遠遠超出了箭的範圍。所有多項式組成的集合就是一個向量空間——你能把兩個多項式相加，也能用一個數縮放一個多項式。所有光滑函數組成的集合，或所有 2x2 矩陣組成的集合，也都是。正因為它們都遵守同一套規則，你對向量空間證明的每一條定理都能一次性套用到它們全部身上，這正是線性代數從物理到資料科學無處不在的原因。
R^n = { (x1, x2, ..., xn) : each xi is a real number }
R^n，即所有由 n 個實數組成的有序列表，是標準的向量空間；n = 2 是平面，n = 3 是空間。
每個向量空間都必須包含零向量——把任意向量乘以 0 就會落到它身上，所以封閉性逼著它必須存在。
又稱
另見