同時對角化

對角化一個矩陣，意味著為它找到一組特徵向量基。同時對角化要求更強的東西：一組同時對角化多個矩陣的基。在這組共享的特徵向量基下，族中每個矩陣都在同一座標系下化為對角形——這是一種非凡的對齊，並非每個集合都能享有。

簡潔的定理：一族矩陣可同時對角化（即存在一個可逆 P，使族中每個 A 都滿足 P^-1 A P 為對角形）當且僅當族中每個矩陣各自可對角化，且它們兩兩可交換，AB = BA。可交換是關鍵的額外要素；各自可對角化則是底線。

直觀地說，兩個可交換的算子彼此保持對方的特徵子空間不變，於是在一個算子的每個特徵子空間內部，你都可以進一步對角化另一個，從而細化出一組公共基。這正是量子力學中相容可觀測量何以能同時測量、以及一族可交換的對稱矩陣何以共享一組標準正交特徵向量基的代數骨架。