矩陣群與李理論
貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式
當數字可交換時，e^a e^b = e^{a+b}：指數直接相加。矩陣通常不可交換，所以乘積 exp(A)exp(B) 是另一個群元素 exp(C)，而 C 一般不是 A + B。貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式精確地告訴你 C 是什麼——而且驚人的是，C 完全由 A、B 及其迭代括號搭成。
公式為 log(exp A exp B) = A + B + (1/2)[A,B] + (1/12)[A,[A,B]] - (1/12)[B,[A,B]] + ...，一個無窮級數，其每一項都是 A 與 B 的嵌套換位子。所以把兩個流合併，得到樸素之和 A + B，再加上度量不可交換性的修正項，領頭者為括號的一半。
這正是為何李括號、而非矩陣乘積，才是李代數上正確運算的精確緣由：BCH 表明單位元附近的群乘法完全由括號結構決定。關於局部群的一切都編碼在 g 及其 [.,.] 之中——這便是「李群被它的李代數所捕獲」的形式化版本。
兩點提醒。其一，若 [A, B] = 0，則一切修正消失，你便回到 C = A + B 這一可交換情形。其二，該級數僅當 A、B 足夠小（在 g 中靠近 0）時收斂；整體上你不能指望單一的閉形式。實踐中，頭幾個括號項對小步長已給出極佳的近似——這正是數值積分中分裂方法的基礎。
exp(A) exp(B) = exp(A + B + (1/2)[A,B] + ...); if [A,B] = 0 then = exp(A + B)
BCH 的領頭修正是換位子的一半；當且僅當 A 與 B 可交換時它消失，標量指數律隨之復原。
一個乾淨的推論是李乘積公式：exp(A+B) = lim_{n->inf} (exp(A/n) exp(B/n))^n。把每個流切成 n 個微小步並交錯施加，使括號修正在極限中消失——這是「相加」不可交換生成元的嚴格方式。
又稱
另見