矩陣對數

如果矩陣指數從李代數攀升到群，那麼矩陣對數則反向爬回：它取一個靠近單位元的群元素，並恢復出產生它的那個代數元素（生成元）。它是 exp 的局部逆，回答「這個有限對稱來自哪個無窮小對稱？」

用冪級數定義 log(A) = (A - I) - (A - I)^2/2 + (A - I)^3/3 - ...，當 A 足夠靠近 I 時收斂（精確地說當 ||A - I|| < 1 時）。在該鄰域上 log 是真正的逆：exp(log A) = A，且對小的 X 有 log(exp X) = X。於是 exp 與 log 合起來給出一張光滑的圖，把群的一小片與其平直李代數的一小片等同起來。

這正是「李群在單位元附近看起來像它的李代數」何以字面成立的原因：log 就是那張把彎曲的群壓平到線性代數上的坐標映射。若 A in SO(n) 靠近 I，則 log(A) 反對稱；若 A in SU(n)，則 log(A) 反埃爾米特且跡為 0——對數落回正確的李代數中。

此處提醒至關重要。log 並非整體有定義：正如標量對數是多值的（e^{i theta} 與 e^{i(theta + 2 pi)} 取同一值），旋轉 360 度等於單位變換，故其對數有歧義。遠離 I 時，一個實矩陣可能根本沒有實對數（例如某些帶負特徵值的矩陣），主支是標準的補救辦法。