四元數與 SU(2)

四元數以三個虛單位 i、j、k 擴張複數，滿足 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1。一個四元數為 q = a + b i + c j + d k。長度為 1 的單位四元數原來恰好就是群 SU(2)，它們給出表示三維旋轉最俐落、數值上最穩定的方式——這正是圖形學與機器人學以它們為生的原因。

橋樑是一個 2 比 1 的同態 SU(2) -> SO(3)：每個三維旋轉恰好來自兩個單位四元數 q 與 -q。這使 SU(2) 成為 SO(3) 的二重覆蓋。具體地，繞單位軸 (x,y,z) 轉角 theta 的旋轉對應四元數 q = cos(theta/2) + sin(theta/2)(x i + y j + z k)，而你以三明治 q v q^-1（把 v 當作純四元數）來旋轉向量 v。

二重覆蓋為何是被迫的：SO(3) 不是單連通的（一個 360 度的環路不能收縮為一點），故它不能是旋轉對稱的「最佳」版本。SU(2) 作為三維球面，是單連通的，故它是萬有覆蓋。公式中的半角 theta/2 正是這一二重關係可見的指紋——把 q 轉過 360 度，旋轉卻只走了 180 度。

工程師為何鍾愛它們：單位四元數避免萬向節鎖（歐拉角的奇點），平滑插值（slerp），且只需重新歸一化、而非重新正交化便能保持有效。一點提醒：q 與 -q 的符號歧義意味著插值時你須選定一致的半球，否則旋轉可能突然繞了遠路。