正交群 O(n)、SO(n)

設想 R^n 中固定原點的剛體運動：旋轉與反射，任何使長度與角度原封不動的變換。完成此事的矩陣構成正交群 O(n)。它是圓球面的對稱群，也是歐幾里得幾何本身的對稱群。

代數上，A 是正交的，當且僅當 A^T A = I，等價於 A^-1 = A^T，也等價於 A 的各列構成一組標準正交基。由 A^T A = I 得 det(A)^2 = 1，故 det A = +1 或 -1。det = +1 的正交矩陣構成特殊正交群 SO(n)——它們是純旋轉；det = -1 則意味著混入了一次反射。

幾何上 O(n) = { 保長線性映射 }，因為保持內積 <Ax, Ay> = <x, y> 與 A^T A = I 是一回事。SO(n) 是含單位元的連通分支：你能連續地旋轉回到「什麼也不做」，卻無法把一次鏡像翻轉連續地形變為單位變換，這正是 O(n) 有兩塊的緣由。

關於維數的一點提醒：O(n) 並非 n^2 維。A^T A = I 給出的 n(n+1)/2 個方程（一個對稱矩陣條件）把它削減到 n(n-1)/2 維——對 n = 3 即為 3，恰與你可繞之旋轉的三條獨立軸相符。它還是緊的（閉且有界，因每個元素的絕對值 <= 1），這正是在其上取平均表現如此良好的原因。