矩陣群與李理論
無窮小生成元
無窮小生成元是連續對稱的「種子」：那微小的初始推動，經反覆地、取指數地施加，便構築出完整的有限變換。對旋轉而言，種子就是反對稱矩陣；對它們取指數便長出真正的旋轉。生成元就是李代數，被看作對稱可以開始移動的諸方向。
具體地說，若 gamma(t) = exp(tX) 是單參數子群，則其生成元為 X = gamma'(0)，即單位元處的速度。對 SO(n)，生成元反對稱（X^T = -X），因為在 t = 0 處對 A^T A = I 求導得 X^T + X = 0。對 U(n)，它們反埃爾米特（X^* = -X）；對 SU(n)，反埃爾米特且跡零。生成元攜帶的信息與它所產生的整個流相同。
幾何上，一個反對稱生成元編碼一根軸與一個速率：在三維中，生成元 [0,-c,b; c,0,-a; ...]（反對稱）的作用是與向量 (a,b,c) 作叉乘，於是 exp(t X) 繞該軸以單位角速度旋轉。「角速度是個向量」這個熟悉的事實，實則是說 so(3) 在此反對稱基下是 3 維的。
它為何重要：在物理中，生成元就是守恆量（角動量生成旋轉，動量生成平移，哈密頓量生成時間演化）——這是矩陣形式的諾特定理。一點提醒：生成元一般不可交換，故 [X, Y] != 0 意味著你不能簡單地把繞不同軸的旋轉相加；括號記錄了剩下的那一點扭轉。
X = [0, -1; 1, 0] generates rotation; X^2 = -I, so exp(tX) = cos(t) I + sin(t) X
反對稱生成元 X 的平方為 -I，故其指數坍縮為一個餘弦加正弦的公式——歐拉恆等式的 2x2 回聲。
物理約定的曲折：物理學家常把么正算子寫成 exp(i H t)，其中 H 埃爾米特（即生成元），故他們稱那個埃爾米特矩陣為生成元。數學家用反埃爾米特的 iH。同一個流，相差一個因子 i——追查正負號前先核對作者所指。
又稱
另見