矩陣群與李理論
么正群 U(n)、SU(n)
么正群是正交群的複數表親。正交群 O(n) 保持實長度，而 U(n) 保持 C^n 上的複（埃爾米特）內積：它是複旋轉之群。它是量子力學賴以建立的對稱群，因為么正映射保持概率。
形式地說，A 是么正的，當且僅當 A^* A = I，其中 A^* = conj(A)^T 是共軛轉置。等價地，A 的各列在 <z,w> = sum z_k conj(w_k) 下構成 C^n 的一組標準正交基。於是 |det A| = 1，即 det A 落在單位圓上。特殊么正群 SU(n) 進一步要求 det A = +1——行列式的相位被釘死。
幾何上 U(n) = { 在 C 上保持 <Az, Aw> = <z, w> 的映射 }。與 O(n) 不同，U(n) 是連通的：行列式可取任意相位 e^{i theta}，而你能把這相位連續地旋回到 1，故沒有兩塊之分。U(n) 與 SU(n) 都是緊的，這再次使取平均（哈爾測度）表現良好。
物理學家為何在意：SU(2) 支配自旋，SU(3) 支配強相互作用，U(1) 支配電磁的相位。一點需釐清的提醒：U(n) 作為實流形坐落於 GL(n,C) 中，維數為 n^2，而 SU(n) 的維數為 n^2 - 1（單一的 det = 1 約束去掉了一個實方向）。這些都是實維數，不是複維數。
A = [a, -conj(b); b, conj(a)], |a|^2 + |b|^2 = 1 => A^* A = I, det A = 1, A in SU(2)
一般的 SU(2) 元素由兩個滿足 |a|^2 + |b|^2 = 1 的複數 a、b 構成——恰好是三維球面上的一個點。
自檢：U(1) = { e^{i theta} } 就是單位圓，最簡單的非平凡緊群。SU(2) 原來就是三維球面 S^3，作為 SO(3) 的二重覆蓋位居其上一層——這正是通往四元數的橋樑。
又稱
另見