不變（哈爾）測度

要「在群上取平均」，你需要一種公平地為其元素稱重的辦法——一種不偏袒任何區域的體積概念。哈爾測度恰是此物：一種在群上積分的方式，當你用一個固定群元素把一切平移時它保持不變。它是圓上均勻測度的群論推廣。

精確地說，緊群 G 上存在唯一的概率測度 mu（總質量為 1），它平移不變：對任意固定的 g 與任意函數 f，integral f(gx) dmu(x) = integral f(x) dmu(x)，右平移亦然。對緊群，存在性與唯一性都有保證，這正是 O(n)、SO(n)、U(n)、SU(n) 全都擁有一個典範「均勻分佈」的原因。

它的核心用途是取平均。給定任意對象，把它的群平移按哈爾測度積分，便得到一個群不變的對象：單憑這一招就證明了緊群的每個表示都保持某個內積（故可么正化），並且不變子空間有不變補。在群上取平均，能把任何東西對稱化。

它也是你抽取隨機群元素的方式：一個哈爾隨機的正交或么正矩陣，正是「均勻隨機旋轉」的嚴格含義，是隨機矩陣理論以及需要無偏隨機基的數值算法的核心。一點提醒：對非緊群（GL(n,R)、SL(n,R)、Sp(2n,R)），哈爾總質量無窮，故沒有均勻概率分佈，且左、右不變測度甚至可能不同。