表示

表示把一個抽象群變成具體的矩陣，於是你能用早已掌握的線性代數去研究一個或許神秘的群。其想法是：讓每個群元素作為一個可逆矩陣去作用，並使之尊重群的乘法。你無法想像的對稱，變成了你可以計算的矩陣。

形式地說，群 G 在向量空間 V 上的表示是同態 rho : G -> GL(V)，即 rho(g h) = rho(g) rho(h) 且 rho(e) = I。每個元素 g 被實現為可逆算子 rho(g)，群中的複合對應於算子的相乘。V 的維數即表示的維數；V 稱為表示空間。

要點在於抽象群變成了線性對稱，於是特徵值、跡與不變子空間都派得上用場。被每個 rho(g) 固定的子空間 W <= V 是子表示；不含非平凡不變子空間的表示是不可約的——它們是裝配一切表示的原子，是表示論的核心。

兩點提醒。表示未必忠實：若 rho 有核，則不同的群元素坍縮為同一矩陣、信息丟失（平凡表示 g -> 1 是極端情形）。而對李群，在單位元處對 rho 求導便得到其李代數的表示——故群與代數的表示成對相配。