一般線性群 GL(n)

取所有 n x n 矩陣，再扔掉其中每一個不可逆的。剩下的就是 GL(n)：可逆矩陣的集合。它是本領域一切事物的天然歸宿，因為對稱就是某種你能撤銷的操作，而撤銷恰好意味著擁有逆。

精確地說，GL(n, F) = { A in M_n(F) : det(A) != 0 }，其中 F = R 或 C。在矩陣乘法下它是一個群：可逆矩陣之積仍可逆（行列式相乘），單位矩陣是么元，每個 A 都有逆 A^-1。它不是向量空間——零矩陣以及大多數和都不可逆——所以應把它看作一個乘法世界，而非加法世界。

幾何上，GL(n) 是 F^n 上全部可逆線性映射構成的群：每一種可逆的拉伸、剪切、旋轉與反射，以及它們的任意組合。本章其餘每一個矩陣群（正交、酉、特殊線性、辛）都是從 GL(n) 中、通過要求其保持某種額外結構而切出的子群。

關於它形狀的一點提醒：det 是連續函數，所以 det != 0 這一條件使 GL(n,R) 成為 n^2 維矩陣空間中的一個開子集，並裂成兩塊（det > 0 與 det < 0），二者之間無法連續地往來。相比之下 GL(n,C) 是連通的。這一連通性問題是這些群擁有有趣幾何的第一個暗示——它們是李群。