李群（矩陣）

李群是這樣一種群：其元素構成一個光滑形狀——一張彎曲的曲面（流形）——在其上乘法與求逆都光滑地變化。於是你能在群上做微積分：求導、畫光滑路徑、談論切方向。它刻畫了連續對稱的觀念，比如所有旋轉構成的那不間斷的一族。

對我們而言，具體的例子就是矩陣群：GL(n)、O(n)、SO(n)、U(n)、SU(n)、SL(n)、Sp(2n)。每一個都是由光滑方程（如 A^T A = I）從矩陣中切出的子集，從而成為 M_n 的一個光滑子流形，而矩陣乘法與求逆是多項式/有理的、故光滑。按一條乾淨的定理，矩陣李群無非就是 GL(n) 的一個閉子群——無需額外假設。

回報在於幾何與代數的融合。坐在單位元處你會找到一個切空間；該切空間連同換位子括號，便是群的李代數，它把群幾乎全部的結構編碼進一個你早已會計算的平直、線性的對象之中。矩陣指數則是從代數攀回群上的那座橋。

關於「光滑流形」一詞的一點提醒：它意味著群在局部看起來像某個固定 d 維的平直 R^d，d 即群的維數。SO(3) 是 3 維流形，U(1) 是 1 維的圓，GL(n,R) 是 n^2 維的開區域。緊性、連通性與維數是你最先讀出的不變量——而它們在上述各群之間差異顯著。