單參數子群

在李代數中挑一個方向 X，就一直朝那個方向走。你描出的路徑 t -> exp(tX) 便是一個單參數子群：一條穿過單位元的光滑曲線，同時也是從實直線到群的同態。它是連續對稱隨時間展開的最乾淨圖景。

形式地說，單參數子群是光滑映射 gamma : R -> G，滿足 gamma(0) = I 以及對一切 s, t 有 gamma(s + t) = gamma(s) gamma(t)。同態律說的是「先流 s 時間再流 t 時間，等於流 s + t 時間」。一條定理：矩陣李群中每條這樣的曲線都形如 gamma(t) = exp(tX)，其中 X 是李代數中唯一的元素，即 X = gamma'(0)。

所以單參數子群與李代數元素是同一組數據的兩種看法：X 是初速度，exp(tX) 是它生成的軌跡。這恰是線性常微分方程 x'(t) = X x(t) 的流：代數元素 X 是速度場，子群 exp(tX) 是 t 時刻的流映射。

它為何重要：物理守恆律與連續對稱（時間中的旋轉、平移、量子力學中的相位演化）全都是單參數子群。一點提醒：像可以繞回。在環面上取無理斜率，曲線永不閉合，且填滿一個稠密子集，這表明單參數子群未必是閉的（嵌入的）子流形。