可逆算子

算子 T : V -> V 可逆，是指存在一個算子 S 從兩側都撤銷它：S T = T S = I。這個 S 若存在則唯一，記作 T^-1。可逆意味著 T 是雙射——它不丟失資訊（單射）又觸及一切（滿射）——所以它是空間的一次完美的、可逆的重排。

在有限維裡發生了一個小小的奇蹟：單射、滿射、可逆三個條件彼此重合。這是秩-零化度的直接推論。若 T : V -> V 單射，則 ker T = {0}，故 dim im T = dim V，故 im T = V 即 T 滿射；既單又滿者是雙射，於是可逆。單獨驗證單射或滿射其一就為整套作保。（這種坍縮在無限維失效，那裡會出現單側行為。）

等價的有限維判據層出不窮：T 可逆，當且僅當其矩陣行列式非零、當且僅當 0 不是特徵值、當且僅當其各行線性無關、當且僅當滿秩、當且僅當其矩陣可列化簡為單位矩陣。每條都是同一事實換裝登場；挑最省力驗證的那條即可。

V 上的可逆算子在複合下構成一個群，即一般線性群 GL(V)。它不是子空間——兩個可逆算子之和可能奇異——但它對複合與求逆封閉，以恆等為單位元。GL(V) 是向量空間的對稱群，也是相似與共軛上演的舞台。