自同態代數

當定義域與陪域一致時，算子空間 End(V) 獲得了一個在一般 Hom(V,W) 上無法施行的額外運算：複合。給定兩個算子 S 與 T，先 T 後 S 的複合仍是算子。於是 End(V) 不只是一個向量空間——它是一個帶乘法的向量空間，而這恰是被稱為代數的結構。

細說起來，End(V) 對加法、純量乘法與複合都封閉；複合對加法兩側都滿足分配律；恆等算子 I 充當乘法單位元。這些正是帶單位的結合代數的公理。乘法之所以結合，是因為函數複合結合；但它不交換：一般而言先 T 後 S 不同於先 S 後 T。

給 n 維空間 V 取定一組基，整個結構便具體化了：End(V) 同構於 n 列 n 行矩陣的代數，複合對應矩陣乘法。你對矩陣乘積所知的一切——不交換、單位矩陣的角色、可逆性——都是 End(V) 的代數結構在座標下的樣貌。

當你研究單個算子 T 時，這一視角便見成效，因為此時 T 的多項式，即諸如 a I + b T + c T^2 之物，在 End(V) 內構成一個交換子代數。極小多項式與凱萊-哈密頓定理都是關於這個子代數的陳述，它們驅動著標準形理論。