線性映射空間

在初等課程裡，你一次只研究一個線性映射。第二卷的轉變在於：把從空間 V 到空間 W 的所有線性映射當作一個整體來對待，並追問這個整體具有什麼結構。答案很乾淨：你可以把兩個線性映射相加，也可以用一個數去縮放一個線性映射，而兩種結果仍然是線性的。於是從 V 到 W 的全體線性映射本身構成一個向量空間。

我們把它記作 Hom(V,W)，有時也寫作 L(V,W)。加法是逐點的，(S + T)(v) = S(v) + T(v)，縮放是 (c T)(v) = c (T(v))。零映射是加法單位元。一旦給 V 取定一組基、給 W 取定一組基，每個映射就變成一個矩陣，映射相加就是矩陣逐項相加。所以在座標下，Hom(V,W) 不過就是全體 m 列 n 行矩陣構成的空間。

數維數能把這件事講得很具體。若 dim V = n、dim W = m，那麼一個映射由它把 V 的 n 個基向量各自送到何處所完全確定，而每個目標都是 m 維空間 W 裡的一個自由向量。這就是 n 個獨立的選擇，每個落在 m 維之中，於是 dim Hom(V,W) = m 乘 n。矩陣圖景印證了這一點：一個 m 列 n 行的矩陣有 m 乘 n 個自由元。

好處是概念上的槓桿。把映射看作某個向量空間裡的點，讓你能夠談論映射的族、映射的極限、對偶空間（即 W 為純量域的特例）以及雙線性型——全都靠把你已經信賴的線性代數提升一層來複用。