映射關於基的矩陣

線性映射 T : V -> W 是一個抽象的、無座標的對象。要用它來計算，你需為定義域選一組基 B = (b_1, ..., b_n)、為陪域選一組基 C，於是 T 便化為一個矩陣。做法是：把 T 作用於每個定義域基向量，將結果 T(b_j) 關於 C 用座標表示，再把那個座標行作為矩陣的第 j 行。矩陣的各行就是基向量的像，按目標基寫出。

一旦矩陣 [T]_{C<-B} 建好，計算便歸結為矩陣與向量的乘法：若 x 是向量 v 關於 B 的座標行，則 [T]_{C<-B} x 是 T(v) 關於 C 的座標行。抽象映射與其矩陣做的是同一件事；矩陣不過是透過兩扇選定的座標窗口看到的映射。映射的複合，按匹配的次序，對應於它們矩陣的乘法。

關鍵的告誡是基依賴性。改換任一組基，矩陣都會改變，縱然映射紋絲未動。新的定義域基在右側乘一個換基矩陣，新的陪域基在左側乘另一個。所以同一個映射有無窮多個矩陣，而任何你想歸於映射本身的性質都必須在這些改變下不變——秩，以及對算子而言的行列式、跡與特徵值，正是這樣的不變量。

這是連接本學科兩半的橋樑：關於映射的抽象推理，與關於矩陣的具體計算。定理以無座標方式陳述最為乾淨；算術則在某組基裡完成。懂得如何在二者之間往返——以及哪些事實能挺過這往返——正是從業數學家的熟練。