相似

兩個方陣 A 與 B 相似，是指存在可逆 P 使 B = P^-1 A P。要點不在公式而在其含義：A 與 B 相似，恰當它們是同一個算子寫在兩組不同基下的矩陣。相似這一等價關係是在說：別讓座標的改換騙你以為這是兩個不同的對象。

這裡 P 是換基矩陣。若 A 是 T 在基 B 下的矩陣，而你換到一組以 P 各行為向量的新基，則這同一個 T 的矩陣變為 P^-1 A P。所以相似類與算子（相差一組基）一一對應。兩個矩陣相似當且僅當它們代表同一個幾何作用。

因為相似的矩陣是同一算子的偽裝，算子的每一個真性質都是相似不變量：它們共享行列式、跡、秩、特徵多項式、極小多項式、連同重數的特徵值以及若爾當結構。反過來，任何繫於特定基之物——個別的元、上三角性、對稱性——一般都不被保持。

算子理論的宏大工程，是在每個相似類裡選出盡可能簡單的代表——一個標準形。在代數閉體上，那代表是若爾當形；在實數上則用實若爾當形或有理標準形。兩個矩陣相似當且僅當它們有相同的標準形，這正是標準形為何能分類算子的緣由。