算子的共軛

共軛是把運算 A -> P^-1 A P 看作群所施行之事，而非一次性的公式。固定一個可逆算子 P；用 P 共軛就是把每個算子 A 送到 P^-1 A P 的映射。當 P 遍歷整個一般線性群 GL(V) 時，你便得到 GL(V) 在算子集合上的一個作用，而該作用的軌道恰是相似類。

這一群作用的視角把一切重新組織。說 A 與 B 相似，就是說它們落在同一條軌道裡。求一個標準形，就是為每條軌道求一個選定的代表。問哪些量是相似不變量，就是問算子上哪些函數沿軌道為常值——跡、行列式、特徵多項式與極小多項式等等，正是這些不變的函數。

共軛尊重代數結構：它是 End(V) 的一個自同構。它保持和、純量乘法，尤其保持乘積，因為 P^-1(AB)P = (P^-1 A P)(P^-1 B P)。所以共軛就是用 P 給空間重新貼標籤，再看同樣的算子如何作用——複合、冪、多項式恆等式都隨之轉移。這就是極小多項式這樣的不變量為何不能改變：它是一個代數關係，而代數被保持。

同一想法貫穿整個數學：群中的共軛、微分算子中的變量替換、物理中實現參考系改換的相似變換。每種情形裡寓意都相同——共軛是視角的改換，而值得命名之物正是它所不動的那些。