基變換（change of basis）

基變換，是一門用另一組參考方向來描述同一批向量和映射的藝術。空間裡的箭頭根本沒動；變的只是我們給它們起名所用的數字，就像在兩張不同的街道網格上讀出同一個地點。

為什麼要費這個事？因為合適的座標系能把難題變簡單。一個在標準基下看起來錯綜複雜的變換，換到精心挑選的一組基下，可能就成了沿各座標軸的簡單拉伸。在許多應用數學裡，選好座標軸就已經贏了一半。

當你切換座標系時，一個變換的矩陣會變成 B^(-1) A B 的形式，其中 B 把新的基向量作為它的各列。這一串夾心式的乘法，先翻譯成新語言，做完工作，再翻譯回來。矩陣換了模樣，但底下的映射絲毫未動。