座標向量（coordinate vector）

一旦你固定了一組基——一組選定的參照向量——空間裡的每個向量就獲得了一串整齊的數字，稱為它的座標向量。這些數字不過是：要用基向量的線性組合重新拼出原來那個向量時，你所需要的權重。基就是「量尺」，而座標向量記錄的是：為了到達你的目標，每根量尺你各放了多少根。

一個關鍵而常常出人意料的要點是：同一支箭，在不同的基下擁有不同的座標。箭本身並沒有動；變的只是你拿來量它的那些尺。我們隨手為一個向量寫下的數字 (3, 1)，其實是它在標準基 (1, 0) 與 (0, 1) 下的座標——我們只是很少把這點說出口。換成另一組傾斜的基，那支一模一樣的箭就會得到一串全新的數字。

一個小例子：在標準基下，v = 3*(1, 0) + 1*(0, 1)，所以它的座標向量是 (3, 1)。現在選取基 b1 = (1, 1) 和 b2 = (1, -1)。同一個 v 可以寫成 2*b1 + 1*b2 = (3, 1)，所以在這組新基下它的座標向量是 (2, 1)。同一支箭，兩串不同的座標——你得到哪一串，完全取決於你選的基。