線性組合（linear combination）

線性組合是整個線性代數裡最基本的動作：拿幾個向量，把每一個都按某個數（一個純量）拉伸或壓縮，再把結果加起來。就這麼簡單。如果 v 和 w 是向量，那麼 3*v + 2*w 就是它們的一個線性組合——你把 v 放大了 3 倍，把 w 放大了 2 倍，然後相加。這些數被稱作係數或權重，它們可以是任意實數，包括零和負數。

這個簡單的運算，是你之後將遇到的幾乎每一個概念背後的引擎。問「用這些向量能拼出哪些向量？」就引出了張成（span）的概念。問「這些向量裡有沒有一個是多餘的，因為它本來就是其他向量的組合？」就引出了線性無關。問「怎樣把一個目標向量寫成給定一組向量的組合？」恰恰就是在解一個線性方程組。

一個小例子：取 v = (1, 0) 和 w = (0, 1)，組合 4*v + 3*w = (4, 3)。透過選取不同的權重，你能到達平面上的每一個點，這正是這兩個向量特殊的地方。而只用一個向量，你只能到達過原點的一條直線上的點。