左逆與右逆

雙側可逆是個很強的要求。常常只需要它的一半就夠用。T : V -> W 的左逆是一個映射 L : W -> V 滿足 L T = I_V——先 T 後 L 便回到原處。右逆是一個映射 R : W -> V 滿足 T R = I_W——先 R 後 T 便回到 W 中的出發點。這兩個是確實不同的訴求，一個映射可以有其一而無其二。

它們恰好對應單射與滿射。T 有左逆當且僅當 T 單射：能從左側撤銷 T 意味著 T 不丟失資訊。T 有右逆當且僅當 T 滿射：能在 T 之前接上一個觸及每個目標的 R，意味著 T 觸及一切。（對非方形或無限維的映射，這是兩個分立的現象，所以單側逆才掙得了自己的名字。）

一般而言兩種單側逆都不唯一。若 T : R^2 -> R^3 單射，它有無窮多個左逆，因為 L 只在 im T 上被釘死，在一個補子空間上自由。同樣，滿到較小空間的映射有許多右逆，對應於選取原像的每一種方式。

二者恰在都存在且空間為方形（或兩者皆是同一有限維空間上的算子）時合而為一。若 L T = I 且 T R = I，則 L = L(T R) = (L T)R = R，於是左逆與右逆重合，並等於真正的雙側逆。在有限維 End(V) 中，單射已蘊含滿射，故單側逆自動是雙側逆。