核與像（無座標）

在第一卷裡，核是一個矩陣的零空間，像是它的行空間——兩者都靠列化簡來計算。無座標的視角則完全拋開矩陣。對一個線性映射 T : V -> W，核是 V 中被送到零的向量之集，ker T = { v in V : T(v) = 0 }；像是 T 實際觸及的向量之集，im T = { T(v) : v in V }。

兩者各自自動是子空間：核是定義域 V 的子空間，像是陪域 W 的子空間。你可直接由線性性驗證——若 T(u) = 0 且 T(v) = 0，則 T(u + v) = 0，像也類似——眼前沒有基、沒有矩陣、沒有任何列運算。這些子空間是映射所固有的：換基時它們不變。

這種固有性正是要害。T 的矩陣依賴於基的選取，換基時隨之改變；但核與像是只繫於 T 本身的真實幾何對象。因此它們的維數——零化度與秩——是映射的不變量，在每一套座標系裡都相同。對矩陣作列化簡，不過是計算那些先於任何矩陣就已存在的對象的一種辦法。

這裡住著兩條乾淨的判據。T 單射當且僅當 ker T = { 0 }（沒有非零向量被壓扁），T 滿射當且僅當 im T = W（一切皆被觸及）。心中持有這兩個子空間而非一個矩陣，正是讓同構定理顯得理所當然的習慣。