第一同構定理

這是整個線性映射主題的結構性高潮。取任一線性映射 T : V -> W。它不單射的程度恰由其核度量，它不滿射的程度恰由 W 比其像大出多少來度量。第一同構定理說：若你從定義域中把核商掉，所餘之物正是像的一份完美副本。用符號寫，V / ker T 同構於 im T。

直觀如下：兩個輸入 u 與 v 被送到同一處，當且僅當 u - v 落在核中。所以 T 分辨不出相差一個核元素的向量。商空間 V/ker T 正是藉由宣布這種向量相等——把每個陪集塌縮為一點——而構造的。一旦做了這種塌縮，T 就變成單射，又因它恰好落在 im T 上，便成為到像的雙射。線性雙射就是同構。

具體地說，這個同構就是誘導映射 T-bar，它把陪集 v + ker T 送到 T(v)。它良定，因為任意兩個代表元相差一個核向量，而 T 把核向量送到零；它線性，因為 T 線性；它由構造而單射；它由像的定義而滿到 im T。這一個誘導映射承載了全部內容。

為何重要：這一條定理就是秩-零化度背後的引擎，也是一條在群、環、模上反覆出現的定理在線性代數中的影子。學會把核、像與商看作同一個三角形的三條邊，正是第二卷所圍繞的概念升級。