短正合列

一列線性映射在某處正合，是指流入的映射的像等於流出的映射的核——進來的與消亡的是同一回事。短正合列打包了最基本的情形：0 -> U -> V -> W -> 0，在每個內部位置都正合。兩端的兩個零是平凡空間，它們迫使第一個內部映射單射、最後一個滿射。

解讀這三個條件。在 U 處正合：映射 0 -> U 的像只是 {0}，故 U -> V 的核為 {0}，即 U -> V 單射——U 作為子空間嵌在 V 中。在 W 處正合：映射 W -> 0 的核是整個 W，它必等於 V -> W 的像，故 V -> W 滿射。在 V 處正合：U -> V 的像等於 V -> W 的核。合起來，W 被迫（同構於）商 V/U——這是披著列之外衣的第一同構定理。

於是典範的短正合列是 0 -> U -> V -> V/U -> 0：把子空間嵌入，再將其商掉。每個短正合列在同構意義下都是這個形狀。它是那句結構性的話：V 由一個子對象 U 與一個商對象 V/U 搭成，不多也不少。

V 是否真為那兩塊的直和，是另一個叫作分裂的問題。短正合列分裂，是指存在一個截面 W -> V 把 W 放回 V 中作為 U 的補；此時 V 同構於 U (+) W。在體上，向量空間的每個短正合列都分裂——你總能選一個補子空間——這是向量空間所特有的，對一般的模則失效。無論是否分裂，維數總相加，dim V = dim U + dim W 恆成立。