秩-零化度定理（抽象形式）

第一卷靠在列化簡後的矩陣中數主元行與自由行來證明秩-零化度。抽象形式證明同一個等式 dim ker T + dim im T = dim V，卻根本不用矩陣——並在此過程中揭示它為何成立，而不只是它成立。

從第一同構定理出發：V / ker T 同構於 im T。同構的空間維數相等，故 dim(V/ker T) = dim im T。再用商空間的維數公式 dim(V/U) = dim V - dim U，取 U = ker T。便得 dim V - dim ker T = dim im T，移項即得 dim ker T + dim im T = dim V。整個證明就是把兩個事實串在一起。

解讀這個等式：秩 dim im T 數的是 T 真正輸出的方向，零化度 dim ker T 數的是 T 摧毀的方向。定義域的每一個維度都被記帳為或被保留（貢獻給秩）或被塌縮（貢獻給零化度）。無中生有或憑空消失皆無——維數在映射兩側守恆。

這個抽象證明不只是優雅而已。凡商空間仍為有限維處，它對無限維空間之間的映射逐字成立；因為沒有選基，它在任何換基下都不變；它又是模與鏈複形的秩定理的樣板。矩陣證明在算，抽象證明在解釋。