商空間上的誘導映射

設算子 T : V -> V 保持一個子空間 U，即 U 是 T 不變的。那麼 T 不只是從下方限制到 U——它還從上方下降到商空間 V/U。這個誘導映射，記作 T-bar，按顯然的法則作用於陪集：T-bar(v + U) = T(v) + U。它是當你無視 U 內部一切之後，T 所呈現的樣子。

這之所以被允許，恰恰因為不變性。要使該法則良定，同一陪集的兩個代表元必須給出相同的答案。若 v 與 v' 相差 U 中一個元素 u，則 T(v) 與 T(v') 相差 T(u)，而 T(u) 落在 U 中正因為 U 不變——所以它們代表 V/U 的同一個陪集。沒有不變性，公式將含糊不清；有了它，T-bar 是 V/U 上一個真正的、良定的算子。

限制與誘導映射是同一算子的兩半。T|_U 抓住 T 在 U 內所為；T-bar 抓住 T 對其餘部分模 U 所為。用矩陣說，把 U 的基擴到 V，塊形 [A, B; 0, C] 同時顯示二者：A 是對 U 的限制，C 是 V/U 上誘導映射的矩陣。塊 B 是兩塊都看不見的唯一資訊。

這是把算子歸納地一層層剝開的標準工具。找一個不變子空間 U，理解 T|_U 與 V/U 上較小的算子 T-bar，再遞迴。T 的特徵值就是 T|_U 的特徵值連同 T-bar 的特徵值，這正是三角化與若爾當形如何一次一個不變層地搭建起來。