對不變子空間的限制

V 的子空間 W 在算子 T 下不變，是指 T 從不把 W 中的向量帶到 W 之外——即 T(W) 含於 W。這成立時，T 可被限制到 W 上：法則 v -> T(v) 作為算子 T|_W : W -> W 完全說得通，因為輸出保證落回 W 中。不變性正是讓你能在一個更小的舞台上研究 T 的條件。

不變子空間是大算子被拆成小算子的途徑。最乾淨的來源是特徵向量：任何特徵空間都不變，任何特徵向量的張成、任何廣義特徵空間、以及 T 的任何多項式的核與像也都不變。尋找不變子空間，與理解算子的內部結構是同一個問題。

矩陣上的紅利是塊三角形。把不變子空間 W 的一組基擴成 V 的整組基。在那組基下，T 的矩陣在左下角有一個零塊：它形如 [A, B; 0, C]。左上塊 A 就是限制 T|_W 的矩陣。若你夠幸運，也有一個互補的不變子空間，則非對角塊 B 也消失，矩陣成為塊對角——T 分裂為兩個較小算子的直和。

這種塊結構是標準形背後的實用引擎。行列式與特徵多項式沿對角塊分解：det T = det A 乘 det C，T 的特徵多項式是各塊特徵多項式之積。一次剝下一個不變子空間，你便把任一算子約化為可處理的部分。