幂零算子

冪零算子是指被升到足夠高的冪次時歸零的算子：存在某正整數 k 使 N^k = 0，而更低的冪未必為零。這樣的最小 k 稱為冪零指數。直觀地，N 不斷把向量推向零，至多施加 k 次後一切都被推到了盡頭。

乾淨的譜事實：冪零算子唯一的特徵值是 0。若 N v = lambda v 且 v 非零，則 N^k v = lambda^k v = 0 迫使 lambda^k = 0，故 lambda = 0。於是特徵多項式為 x^(dim V)，極小多項式為 x^k。冪零算子（在非零 V 上）永不可逆，且僅在平凡情形 N = 0 時可對角化，因為唯一特徵值為 0 的可對角化算子必已是零算子。

範例是把每個基向量送到前一個、把第一個送到零的移位：e_k -> e_(k-1) -> ... -> e_1 -> 0。施加 k 次後每個基向量都抵達 0。它的矩陣在上次對角線上是 1、別處是 0——一個特徵值為 0 的若爾當塊。每個冪零算子都是若干這樣大小不一的移位塊的直和。

冪零算子是若爾當理論的基石。在代數閉體上的空間裡，任一算子在減去其半單（可對角化）部分後，在每個廣義特徵空間上分裂為一個冪零部分。所以單獨理解冪零算子——它們的鏈、它們的若爾當塊——正是通往若爾當標準形之前最後的技術關口。