冪等元

任何代數中的元素 e，若 e^2 = e，便稱為冪等元——把它平方什麼新東西都不產生。這個詞大致意味著同次冪：再施加一次得到同樣的東西。在算子代數 End(V) 中，冪等元恰是投影算子，所以冪等元是投影這一具體之物在代數層面的抽象名稱。

代數約束迫使譜被限定。若 e^2 = e，則 e 滿足 x^2 - x = 0，即 x(x - 1) = 0，故每個特徵值都必須是該多項式的根：唯一可能的特徵值是 0 與 1。特徵值為 1 的特徵向量是 e 所固定的向量（即像），特徵值為 0 的特徵向量是 e 所湮滅的向量（即核）。由於 0 與 1 是相異的單根，一個非平凡的冪等算子自動可對角化，對角線由若干 0 與 1 組成。

這就是投影何以如此規整的原因：它的整個結構都被一個方程所迫定。e 的秩等於 1 的個數，等於它所投到的子空間的維數，而 e 的跡也等於這同一個秩。沒有若爾當式的麻煩，沒有虧損的特徵值——冪等性把它們排除掉了。

冪等元組織著一個代數。一對 e 與 1 - e 都是冪等元，相乘為零，相加為單位元；這是把底空間劈成直和的代數指紋。一族兩兩正交且和為 1 的冪等元一次性把空間分解為若干塊，這恰是可對角化算子的譜投影的工作方式。