投影算子

投影算子刻畫了把一個向量沿某選定方向落到一個子空間上這一想法。其定義性質是代數的，且優美簡單：P^2 = P。施加投影兩次與施加一次結果相同，因為已經落在目標子空間裡的向量再無可投。

每個這樣的 P 都把整個空間劈成兩塊互補部分。它的像 im P 是 P 投到何處，它的核 ker P 是 P 沿何方向投。關鍵的結構事實是 V 為此二者的直和，V = im P (+) ker P：每個向量都唯一地分解為像中之物加核中之物，即 v = P(v) + (v - P(v))。前者落在 im P 中；後者落在 ker P 中，因為 P(v - P(v)) = P(v) - P^2(v) = 0。

反過來，任何直和分解 V = U (+) W 都給出一個投影：把每個向量送到它的 U 分量。所以投影與直和分裂是同一現象的兩種視角。注意分裂由像與核共同決定——許多不同的投影共享同一個像卻沿不同的核投影，所以投影並不僅由它落到何處所決定。

一個重要的細化：若空間有內積，且你要求投影方向與目標子空間正交，便得到正交投影，那是最小二乘背後的算子。這一附加條件使 P 在 P^2 = P 之上又自伴，P^* = P。沒有它，P 只是斜投影。