特殊線性群 SL(n)

在所有可逆矩陣中，挑出那些行列式恰為 1 的。它們是保體積且保定向的映射：可以劇烈地剪切與拉伸空間，但任意區域的總有向體積保持不變。這個子群就是特殊線性群 SL(n)。

形式地說，SL(n, F) = { A in GL(n, F) : det(A) = 1 }。它是群，因為行列式可乘：det(AB) = det(A)det(B) = 1，且 det(A^-1) = 1/det(A) = 1。事實上 SL(n) 恰好是群同態 det : GL(n, F) -> F^*（乘法下的非零標量）的核，這立刻使它成為一個正規子群。

幾何上，det = 1 意味著單位立方體映成體積相同、定向相同的立體——不翻轉、體積不縮放。與 SO(n) 相比：後者保持長度與角度這種強得多的結構；SL(n) 只守護體積，故大得多，包含那些扭曲所有形狀卻保持其體積的剪切。

關於其大小與形狀的一點提醒：det = 1 這一個方程恰好把維數減一，故 dim SL(n,R) = n^2 - 1。與 SO(n) 和 U(n) 不同，SL(n,R) 不是緊的——像 [1, t; 0, 1] 這樣的剪切對每個 t 行列式都為 1，故你能在群內一路跑向無窮。正是這種非緊性，使在 SL(n) 上取平均比在 O(n) 上更需小心。