定向

定向是手性的抽象版本：在右手座標架與左手座標架之間的選擇。在平面上是順時針對逆時針；在空間中是右手定則對它的鏡像。維數至少為一的實向量空間恰有兩個定向，選定其一就是規定哪些有序基算作「正向」排列。

行列式是定向的記帳員。兩組有序基給出相同的定向，當且僅當它們之間的換基矩陣行列式為正；行列式為負則意味著它們手性相反。等價地，線性映射 T 在 det(T) > 0 時保定向，在 det(T) < 0 時反定向。行列式的符號承載了這全部定性內容，與大小（體積縮放）相分離。

凡「翻轉」有意義之處此事就重要。反射的行列式為 -1（它反轉手性），而旋轉的行列式為 +1（它保持手性）；這正是為何旋轉構成行列式為 1 的正交矩陣所成的特殊正交群 SO(n)。在微積分中，雅可比的符號告訴你換元是保定向還是翻轉定向，這控制著斯托克斯型積分定理中的符號。

注意：定向是實數現象。在複數上 det 可以是任意非零複值，沒有「正」的概念，故複向量空間在此意義下沒有兩向的定向（非零複純量是連通的）。另外，大小與符號是獨立的職責：|det| 度量拉伸，sign(det) 度量翻轉；一個映射可以只做其一、二者兼做、或兩者都不做。