算子的行列式

行列式通常附著於矩陣，但更深的對象是線性算子的行列式——即從有限維空間 V 到自身的映射 T，無需提及任何基。任取一組基，把 T 寫成矩陣，取該矩陣的行列式：所得的數不依賴於你所選的基。於是 det(T) 是算子本身的真正不變量。

為何良定義：換基把矩陣 [T] 替換為 P^-1 [T] P，P 為某可逆矩陣。由乘性，det(P^-1 [T] P) = det(P^-1) det([T]) det(P) = det([T])，因為 det(P^-1) det(P) = 1。共軛因子恰好相消，故每組基給出同一個數。這一相似不變性正是 det(T) 有意義的全部原因。

無座標地讀，det(T) 是 T 在 V 上縮放定向體積的倍數——與你如何建立座標無關，因為體積之比與之無關。漂亮的高觀點定義用最高次外冪：T 在最高交替形式構成的一維空間上誘導一個線性映射，而對一維空間的乘法不過是按某數縮放；那個數就是 det(T)，全程無需任何基。

注意：det(T) 需要定義域等於陪域的有限維空間（一個算子，V -> V），且維數須有限——一般無窮維空間上的算子沒有行列式（希爾伯特空間上特殊的「行列式類」算子帶有精細的弗雷德霍姆行列式，那是另一個故事）。對非方陣，det 乾脆沒有定義。