行列式的乘性

乘積法則說乘積的行列式等於行列式的乘積：det(AB) = det(A) det(B)。它是關於行列式最有用的單條事實，而從體積視角看幾乎顯然——先施加映射 B（把體積按 det B 縮放），再施加映射 A（按 det A 縮放），總的體積縮放就是二者之積。縮放的複合即相乘。

乾淨的證明用唯一性刻畫。固定 A，把 D(B) = det(AB) 看成 B 各行的函數。因為 AB 只是把 A 作用於 B 的每一行，D 對這些行是交替且多重線性的，故由唯一性 D(B) = c * det(B)，其中 c 為某常數。在 B = I 處求值得 c = det(A)。於是對一切 B 有 det(AB) = det(A) det(B)，且未算一個矩陣元素。

後果接踵而至。det(A^-1) = 1/det(A)，因為 det(A) det(A^-1) = det(I) = 1，這也再次證明可逆迫使 det != 0。行列式在相似下不變：det(P^-1 A P) = det(A)，因為 det(P) 與 det(P^-1) 相消——而這一不變性正是讓我們能無基地定義算子行列式的依據。它還給出 det(A^T) = det(A)，以及分塊三角矩陣的行列式等於各分塊行列式之積。

注意：法則關乎乘積，而非求和。一般地 det(A + B) 並不等於 det(A) + det(B)——沒有簡單的加法律，因為體積縮放在矩陣相加下並不線性。另外，對 n 階矩陣 det(cA) = c^n det(A)，而非 c det(A)；純量被升到維數次方，因為它一次縮放盒子的全部 n 條稜。