行列式的唯一性

關於行列式最深刻的事實是：本質上只有一個。在所有給 n 階方陣賦一個數的函數裡，恰有一個對行交替、對行多重線性、且在單位矩陣上取 1。那個函數就是行列式。其餘一切——萊布尼茨求和、餘子式展開、乘積法則——都不過是這同一個對象換了身衣裳。

確切陳述：設 D 把 n 個行向量映為一個純量。若 D（一）對每行線性，（二）當兩行相等時為零（交替），（三）在標準基上 D(e_1, ..., e_n) = 1，則 D 被唯一確定且等於 det。證明梗概：用多重線性把每行在標準基下展開；交替性消掉一切含重複下標的項，只剩由置換標記的項；條件（三）釘住它們共同的尺度。存活下來的求和恰是萊布尼茨公式。

這就是刻畫與公式之別。公式（如萊布尼茨或拉普拉斯）告訴你怎麼算；刻畫告訴你這東西是什麼，於是任何滿足這三條性質的對象都被迫與它重合。這就是為何你能不碰任何一個元素就證明 det(AB) = det(A)det(B)：只需驗證 B -> det(AB) 是交替多重線性的，比較它在單位矩陣處的值，唯一性即收尾。

注意：去掉歸一化（三），唯一性只損失一個純量倍——n 個向量上的交替多重線性函數構成一個一維空間，故任意兩個相差一個常數。歸一化為在單位矩陣上取 1，就選出了那個典範代表。這一維性正是最高次外冪為一條直線的代數影子。