多重線性映射

多重線性映射接收若干個向量作為輸入，並在固定其餘位置時對每一個位置分別是線性的。把它想成一台有 k 個輸入埠的機器：擾動某一個埠（在那裡縮放一個向量，或把兩個向量相加），輸出就線性地響應；其餘埠則像常數一樣保持不動。行列式是最著名的例子，它一次吃進 n 個行向量。

確切地說，從 V_1 x ... x V_k 到 W 的映射 f 稱為多重線性（或 k 重線性），若對每個下標 i，固定除第 i 個以外的所有變元後，它在該變元上是普通的線性映射：f(..., a*u + b*v, ...) = a*f(..., u, ...) + b*f(..., v, ...)。線性必須對每個位置都成立，但不是聯合成立——f(2v_1, 2v_2) 一般等於 4*f(v_1, v_2)，而非 2*f(v_1, v_2)，所以多重線性映射幾乎從不是乘積空間上的線性映射。

這正是行列式所屬的類。一旦你把 det 看成多重線性映射的一種——確切說是交替的那種——它那些看似古怪的法則（變號、沿一列展開、乘積公式）就不再是技巧，而成為推論。多重線性還通向張量：在那裡，一個 k 重線性映射本身就是一個 k 階張量。

注意：不要把多重線性與線性混淆。像點積這樣的雙線性型，對 u 線性、對 v 也線性，但映射 (u, v) -> <u, v> 在這一對上並不線性，因為同時縮放兩個輸入會使輸出按平方倍變化。把「固定其餘、對每個位置線性」當作口訣，可避免這一失誤。