交替多重線性型

交替型是這樣一種多重線性映射：只要它的兩個輸入相等，輸出立刻塌縮為零。從幾何上看，這是「扁平的東西沒有體積」：若一個平行多面體的兩條稜向量重合，圖形退化，其帶符號體積為 0。這一條規則疊加在多重線性之上，就是行列式的全部基因。

設 f 是 k 重線性且取純量值的映射。稱它交替，若當存在 i != j 使 v_i = v_j 時恆有 f(v_1, ..., v_k) = 0。一段簡短計算可推出一個等價而更生動的性質：交換任意兩個變元會變號，f(..., v_i, ..., v_j, ...) = -f(..., v_j, ..., v_i, ...)。（展開 f(..., x+y, ..., x+y, ...) = 0 即可看到變號法則出現。）在 1 + 1 != 0 的體上，「遇重為零」與「交換變號」是可互換的定義。

為何重要：交替多重線性恰好就是「體積」所須滿足的願望清單——縮放一條稜，體積同倍縮放（多重線性）；壓扁圖形，體積歸零（交替）。再加一條歸一化（在標準立方體上取值 1），就唯一地釘住一個函數。這個函數就是行列式，而它的正負號正誕生於交替公理。

注意：僅在特徵 2 時，「交替」才嚴格強於「反對稱」（變號），因為那時 1 + 1 = 0，變號法則不再強制遇重為零。在通常的實或複線性代數中，兩詞可作同義使用，但嚴謹的代數學者會保留這一區別。