置換的符號

置換的符號是單獨一個 +1 或 -1，記錄該置換由偶數次還是奇數次對換構成。用一連串兩兩交換來洗一副牌：無論用哪條交換序列到達某個給定排列，那個排列所需的交換次數總是恆為偶或恆為奇。符號恰好抓住這個固定的奇偶性。它是每個行列式內部正負號的唯一來源。

對換是最簡單的置換：它交換兩個元素，其餘不動。每個置換都可分解為若干對換，儘管分解遠非唯一，其奇偶性（偶或奇）卻是不變量。定義 sign(sigma) = +1，若 sigma 可分解為偶數個對換；= -1，若為奇數個。等價地，sign(sigma) = (-1)^(逆序數)，其中一個逆序是滿足 i < j 而 sigma(i) > sigma(j) 的一對。

為何在此重要：交替公理說交換兩個變元會使行列式變號。把這一交換逐次施加以還原一個置換，累積起來恰是 sign(sigma)——這正是該因子坐在每個萊布尼茨項前面的原因。符號還是一個群同態，sign(sigma tau) = sign(sigma) sign(tau)，這一乘性正是 det(AB) = det(A) det(B) 背後的引擎。

注意：奇偶性是良定義的，但對換的個數不是——只有它的奇/偶類是固定的。不要試圖靠數任意一條交換序列的長度來讀出符號；要數逆序，或分解為不相交的輪換，其中長度為 L 的輪換貢獻符號 (-1)^(L-1)。