萊布尼茨公式

萊布尼茨公式把行列式逐項寫成一個求和：枚舉所有「從每列每行各取一個元素」的方式，並給每種方式配上正負號。對 n 階矩陣它有 n! 項——3x3 有六項，4x4 有二十四項——這正是為何它是理論上珍視、卻從不用來計算大矩陣的定義。

形式上，det(A) = 對所有置換 sigma 求和 sign(sigma) * a_{1,sigma(1)} * a_{2,sigma(2)} * ... * a_{n,sigma(n)}。置換 sigma 是 {1, ..., n} 的一個雙射：它為每一列 i 指定取元素的行 sigma(i)，保證每列每行恰取一個。因子 sign(sigma) 按置換的奇偶性取 +1 或 -1，它是交替公理的直接指紋。

你可以直接從刻畫推出它，而非死記。把 A 的每一行在標準基下寫開，用多重線性把 det 展成一個巨大求和；交替性使所選行重複某基向量的每一項歸零，故只有由置換標記的項存活；把每個存活的乘積重排回標準次序，便恰好產生那個符號因子。唯一性保證這個求和就是行列式。

注意：n! 增長得兇猛，故萊布尼茨在小矩陣之外計算上毫無希望（20! 已超過 10^18）。真正的計算用高斯消元（經由列化簡的 O(n^3) 路線）或 LU；萊布尼茨的價值在於作為證明之源、餘子式展開的根基，以及通向置換符號的橋樑。