拉普拉斯展開

拉普拉斯展開沿某一列（或某一行）行走，把每個元素乘以刪去該元素所在列與行後所得較小矩陣的行列式，再配上正負交替的棋盤符號求和，從而計算行列式。它把一個 n 階行列式化為 n 個較小的 (n-1) 階行列式的加權和——一路遞迴直到 1x1。

沿第 i 列展開：det(A) = 對 j 求和 a_{ij} * C_{ij}，其中餘子式 C_{ij} = (-1)^(i+j) * M_{ij}，子式 M_{ij} 是劃去第 i 列與第 j 行後 A 的行列式。符號模式 (-1)^(i+j) 即棋盤 +, -, +, ...；你可沿任意一列或任意一行展開，得到相同的答案。

它由多重線性自然導出，故可證明而非死記。把所選列寫成由其各元素加權的標準基向量之和 e_1 + ...，再用對該列的線性把行列式拆成 n 塊；每塊是一個元素乘以該列放著一個基向量的行列式，在交替記帳之後恰是帶符號的子式。唯一性確認結果就是 det。

注意：作為數值方法它比表面更糟——完全展開的代價約為 n! 次運算，與萊布尼茨撞上同一堵牆。它真正的用途是理論性的與小規模的：導出伴隨矩陣與逆矩陣公式、手算 3x3 或 4x4、以及利用某列或某行稀疏（多數 a_{ij} 為零，故多數項消失）的便利。