餘子式（伴隨）矩陣

方陣的伴隨矩陣是它的餘子式矩陣的轉置。它存在的全部理由是一個優美的恆等式：A 乘以 adj(A) 等於 det(A) 乘以單位矩陣。這一個方程一次性打包了所有餘子式展開的事實，並且當 det(A) 非零時，無需任何列化簡就交給你一個閉式逆。

分兩步構造。先是餘子式矩陣 C，其元素 C_{ij} = (-1)^(i+j) * M_{ij}，即拉普拉斯展開中的帶符號子式。然後 adj(A) = C^T，即餘子式矩陣的轉置（注意下標互換）。關鍵關係是 A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I。對角元是 det(A) 的真正餘子式展開；非對角元是「錯列」展開，恆為零——這就是全部訣竅。

回報是逆矩陣公式：若 det(A) != 0，則 A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)。這是「可逆等價於 det(A) != 0」最乾淨的證明，並逐元素地展示逆如何依賴於 A。即便 A 奇異，恆等式仍成立（只是變為 A * adj(A) = 0），且 adj 在證明、克拉默法則、以及對行列式求導（adj 的元素出現在 d det / d a_{ij} 中）裡依然有用。

注意：作為實際計算逆的手段，伴隨在 n 大於 3 時很糟糕——它需要 n^2 個子式，而每個本身又是一個行列式。真正幹活請用高斯消元或 LU。把伴隨珍視為理論與符號工具，而非數值工具，並留意轉置：忘記 C^T 與 C 之別是經典錯誤。